الأعداد الموجبة والسالبة وقاعدة الإشارات والأوليات في الرياضيات وتنظم حساب الأعداد السالبة و الموجبة.

أكاديميّة إبراهيم رشيد النمائية 
لتأهيل المعلمات والأمهات وتعليم القراءة الذهنية وللاستشارات والتدريب

ابنتك ... ابنك .. لا يقرأ .. لماذا ؟ سيقرأ بإذن الله ... يمكنكم الاتصال

 00962799585808 .. أو رسالة على الواتس

 منهجية   إبراهيم   رشيد   للهرمية   القرائية   والكتابية   والحسابية 

 المفكر التربوي :   إبراهيم رشيد:- اختصاصي صعوبات التعلم النمائية الديسبراكسية

 والنطق وتعديل السلوك  لمدة تزيد عن ثلاثين سنة عملية علمية تطبيقية 

الخبير التعليمي المستشار في   صعوبات التعلم النمائية والمرحلة الأساسية ورياض الأطفال وغير الناطقين باللغة العربية

رؤيتي الشخصية للتعليم كفن القيادة والشطرنج كتجربة حياة

ومهارة القراءة والكتابة والإملاء والرياضيات والصعوبات النمائية

أنا إبراهيم رشيد معلم أفتخر بتدريس أطفال صعوبات التعلم

والطلبة الموهوبين ذوي صعوبات التعلم وطلبة المرحلة الأساسيّة الدنيا والعليا

وتأهيل الأمهات والمعلمات لكيفية التعليم والتعامل مع الأطفال 

I am Ibrahim Rashid teacher I am proud to teach children Learning Disabilities

بحمد ومنة من الله

 عدد مشاهدي صفحتي التربوية المجانية النمائية الأولى

أكثر من سبعة ونصف مليون  " 7:500:000  

ومتوسط الدخول اليومي للموقع من خمسة إلى سبعة آلاف يوميًّا

والشهري من 150 ألف، لغاية 200 ألف متابع

لكيفيّة تعليم وتعلم الأطفال

 والتعامل معهم ضمن منهجيتي الخاصة للهرمية القرائية من خلال الموازنة العمودية والأفقيّة 

 يمكنكم الضغط على الرابط وضعه على المفضلة وعمل مشاركة له لتعم الفائدة على الجميع بإذن الله .

                                 http://www.ibrahimrashidacademy.net/

...  وننتظر اقتراحاتكم  حول المواضيع التي تهم

 الطلبة الموهوبين والعاديين والموهوبين ذوي صعوبات التعلم النمائية وذوي القدرات الخاصة. 

Ibrahim Rasheed

Expert educational consultant Learning difficulties

and speech and basic stage internationally accredited from Canada

الأعداد الموجبة والسالبة

      وقاعدة الإشارات والأوليات في الرياضيات وتنظم حساب الأعداد السالبة والموجبة.

 قاعدة السالب والموجب

 (+) + (+) = +

(+) + (-) = نطرح ونأخذ إشارة الأكبر

(-) + (-) = -

(-) - (-) = نطرح ونأخذ إشارة الأكبر

(-) x (+) = -

(+) x (+) = +

(-) x (-) = +

الأعداد الموجبة والسالبة

    في علم الحساب، نستطيع جمع وضرب وقسمة الأعداد الطبيعية ولكننا لا نستطيع دائما طرح هذه الأعداد.

 فمثلاً 3 - 5 لا تعني شيئا في علم الحساب. 
     غير أن الجبر استطاع أن يتغلب على هذه المشكلة وذلك بتوسيع نظام الأعداد الطبيعية. ففي الحساب المعتاد تمثل الأعداد المـقادير فقـط، فتحـدثنا عن كم من الأشياء في مجموعة.
     ولكن كثيراً من القياسات التي نواجهها في حياتنا اليومية تهتم بمعرفة كل من المقدار والاتجاه. 
    ومن الأمثلة الجيدة على ذلك قياس درجات الحرارة
حيث هناك درجات حرارة فوق الصفر وأخرى تحت الصفر. 
في الجبر نستخدم أعدادًا تبين الاتجاه.

وباستطاعتنا توضيح هذه الأعداد الجديدة على خط كما يلي.

    نأخذ العدد صفر ليكون نقطة الأصل أو البداية.
 النقاط الواقعة على يسار الصفر تعين مسافة أو اتجاهًا موجبًا، هذه الأعداد تمثل درجات الحرارة فوق الصفر في المثال السابق.
      أما النقاط الواقعة على يمين الصفر فإنها تدل على مسافة أو اتجاه سالب، وهذه الأعداد تمثل درجات الحرارة تحت الصفر.
      فالنقطة أ لا تدل على العدد 1 فحسب ولكن + 1، أي العدد الموجب 1.
 وتدل الإشارة + على الاتجاه الموجب. 
كذلك تدل النقطة ب على العدد - 1، أي العدد السالب 1 وليس العدد 1 فقط.
 وتدل الإشارة (-) على الاتجاه السالب. 
وتسمى الأعداد الممثلة على خط الأعداد بالأعداد الموجبة والأعداد السالبة. 
 ويمكن استخدام هذه الأعداد في حياتنا اليومية لتدل مثلاً على درجات الحرارة، عدد الأمتار فوق مستوى أو تحت مستوى سطح البحر، التغير في أسعار سوق الأسهم، الأرباح التجارية، وكثير من الاستخدامات الأخرى. ومقابل كل عدد موجب يوجد عدد سالب مساو له في المقدار،
 فالعدد 7 على سبيل المثال يعني دائما سبعة أشياء موجباً كان أم سالبا.
 وتعرف القيمة المطلقة لعدد بأنها القيمة الحسابية لذلك العدد.
 وبمقدورنا جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الموجبة والسالبة معا
 ولكن بقواعد تختلف عن تلك المستخدمة على الأعداد في الحساب المعتاد.


قاعدة الإشارات 

(قاعدة الإشارات في الرياضيات)

ضرب وجمع وطرح الأعداد السالبة والموجبة. 

الجمع والطرح:

(-) + (-) = (-) ونجمع

(-) - (-) = (-) ونجمع

(+) + (+) = (+) ونجمع

(+) - (+) = (+) ونطرح

(-) + (+) = اشارة الأكبر ونطرح

الضرب والقسمة:

(+) . (+) = +

(-) . (-) = +

(+) . (-) = -

الإشارات 

نحاول تقسيم القاعدة الى أربعة أجزاء ليسهل حفظها وتذكرها

1) في الجمع والطرح (+،-) إذا اختلفت الإشارات نأخذ إشارة الكبير ونطرح

مثلا -8 + 7 = -1 إشارة الكبير هو عدد ثمانية (-) ونطرح 8-7

2) في الجمع والطرح (+،-) إذا تشابهت الإشارات هناك عدة طرق

ا) (+5) + (-3) =(+5) - (+3) = +2

ب) (-7) - (+9) =(-7) + (-9) = -16

ج) (+5) - (+3) = +2

+5 - 3 = +2

3) في الضرب والقسمة (×،÷) إذا اختلفت الإشارات نضع إشارة (-)

مثلا 5×-3 = -15

15÷(-3) = -5

4) في الضرب والقسمة (×،÷) إذا تشابهت الإشارات نضع إشارة (+)

-4×-8 = +32

-32÷ (- 8 )= +4

الجمع.
     يمكن توضيح عملية الجمع بجمع العدد + 5 والعدد - 7، أي (+5) + (-7).
 نستطيع إجراء عملية الجمع هذه على خط الأعداد كالتالي.

خط الأعداد

لجمع العددين (+5) و (+7) على خط الأعداد نبدأ من نقطة الأصل، ونحسب خمس نقاط إلى اليسار ثم سبعاً أخرى بعد ذلك لنحصل على العدد (+12). ولجمع العددين (+5) و (-7) نبدأ من الصفر ونحسب خمس نقاط إلى اليسار لنحصل على العدد الأول، وهو (+5) وبما أن العدد الثاني (-7) نتجه بعد ذلك إلى اليمين سبع نقاط فننتهي يمين الصفر عند العدد (-2). عندئذ يكون (+5) + (-7) = -2. 
وتسمى الأعداد التي تحمل إشارة سالب أو إشارة موجب عادة بالأعداد ذات الإشارة.

     ولجمع عددين لهما إشارة نتبع القاعدة التالية المبينة على خطوتين:

أولا: إذا كان العددان متفقين في الإشارة فإننا نجمع قيمتيهما المطلقة ونعطي الناتج الإشارة نفسها.

فعلى سبيل المثال (+5) + (+8) = (+13) و (-5)+ (-8) = (-13).

ثانيًا: إذا كان العددان مختلفين في الإشارة فإننا نطرح القيمة المطلقة الصغرى من القيمة المطلَقة الكبرى ونعطي الناتج إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الكبرى. على سبيل المثال،

(+5) + (-8) = (-3) و (-5) + (+8) = (+3).

جمع الاعداد الصحيحة

لجمع عددين صحيحين لهما الاشارة نفسها, اجمع القيم المطلقة للعددين, وعندها يكون المجموع:

١-موجباً اذا كان كلا العددين الصحيحين موجباً.

٢-سالباً اذا كان كلا العددين الصحيحين سالباً.

مجموع اي عدد ونظيره الجمعي يساوي ٠, أي ٨ + (-٨)=٠

حيث نسمي كل من العددين الصحيحين السابقين معكوس, او نظير جمعي.

لجمع عددين صحيحين مختلفي الاشارة، اطرح القيم المطلقة لهما, وعندها يكون المجموع:

١-موجباً إذا كانت القيمة المطلقة للعدد الموجب اكبر.

٢-سالباً إذا كانت القيمة المطلقة للعدد السالب اكبر.

(بمعنى نضع اشارة العدد الاكبر).

مثال: اوجد ناتج كل مما يلي:

-٥ + (-٤) = -٩ لاحظ عندما يكون للعددين اشارة نفسها نقوم بالجمع.

-٨ + ٢ = -٦ لاحظ اننا قمنا بالطرح لان الاشارتين مختلفتين, و٨ اكبر من ٢ لذلك نضع اشارة الرقم ٨ في الناتج والتي هي -

١١ - ٣ = ٨

الطرح. 
لطرح الأعداد السالبة والموجبة تذكّرْ
 أولاً : طريقة طرح الأعداد الموجبة: المطروح منه - المطروح = الفرق. مثلا 9 - 4 = 5.

لاحظ أن المطـروح منه هـو حاصـل جمع المطروح والفرق (4 + 5 = 9).

إذن لطرح عددين لهما إشارة يجب أن نسأل ما الذي ينبغي إضافته إلى المطروح لنحصل على المطروح منه. فمثلا لإيجاد ناتج (+9) - (-4)، ما العدد الذي يمكن إضافته إلى (-4) لنحصل على العدد (+9)؟
 يمكن تحويل عملية طرح الأعداد إلى عملية جمع كالتالي:

1- نغير إشارة المطروح .

2- نجمع المطروح منه والعدد الذي غُيِّرت إشارته، وباستخدام هذه القاعدة: (+9) - (-4) تصبح (+9) + (+4) وبما أن (+9) + (+4) = (+13) فإن (+9) - (- 4) = (+13).
 لاحظ أن مجموع المطروح والفرق يساوي المطروح منه: (-4) + (+13) = (+9). 
لنأخذ مثالاً آخر: (-6) - (+8). نغير أولا إشارة (+8) ثم نضيف الناتج إلى المطروح منه لنحصل على:

(-6) + (-8) = (- 14).

طرح الاعداد الصحيحة

عند طرح عدد صحيح من آخر يتم اضافة معكوس ذلك العدد الى الآخر.

بمعنى انه عند الطرح, في حال كان الرقم الذي بعد اشارة الطرح سالباً يصبح موجباً, وفي حال كان موجباً نقوم بالطرح مباشرة.

امثلة: اوجد ناتج كل مما يلي:

-٣ - ٦ = -٣ + (-٦) = -٩

٩ - ٤ = ٩ + (-٤) = ٥

١٤ -(-٥) = ١٤ + ٥ = ١٩

الضرب.
     قاعدة ضرب عددين ذَوي إشارة هي: 
نضرب القيم المطلقة للعددين.
 فإذا تشابه العددان في الإشارة كان الناتج موجبًا، وإذا اختلف العددان في الإشارة فإن الناتج يكون سالبًا.

(+ 3) × (+ 8) = (+ 24)

(- 3) × (- 8) = (+ 24)

(+ 3) × (- 8) = (- 24)

(- 3) × (+ 8) = (- 24)

ضرب الاعداد الصحيحة

ناتج ضرب عددين مختلفي الاشارة هو عدد سالب, كما ان ناتج ضرب عددين متشابهين بالإشارة هو عدد موجب.

امثلة: اوجد ناتج كل مما يلي:

-٥ x ٨ = -٤٠ مختلفي الاشارة الناتج سالب

-٢ x -٥= ١٠ متشابهين بالإشارة الناتج موجب

٢ x ٤ = ٨

القسمة.
      قاعدة قسمة عددين ذَوي إشارة مشابهة لقاعدة ضربهما: إذا كان العددان متشابهين في الإشارة كان خارج القسمة موجبًا، وإذا اختلفا في الإشارة كان سالباً.

(+ 24) ÷ (+ 3) = (+ 8)

(- 24) ÷ (- 8) = (+ 3)

(+ 24) ÷ (- 3) = (- 8)

(- 24) ÷ (+ 8) = (- 3)

      وعند استخدامنا الأعداد السالبة في الجبر نقوم بتوسيع مجالات المتغيرات. فعلى سبيل المثال لا يوجد حل للمعادلة س + 4 = 1 في مجموعة الأعداد الطبيعية، ولكن - 3 جذر للمعادلة في مجموعة الأعداد الموسعة. كذلك بالإمكان استخدام العمليات التي طبقناها على الأعداد ذات الإشارة، على المتغيرات التي تمثل الأعداد، فيكون بمقدورنا التعامل مع مقادير مثل (- س) أو (-ص).  

قسمة الاعداد الصحيحة

نفس قوانين الضرب، فقسمة عددين مختلفي الاشارة هو عدد سالب, وقسمة عددين متشابهين بالإشارة هو عدد موجب.

امثلة: اوجد ناتج كل مما يلي:

٣٢÷(-٨)=-٤ مختلفات بالإشارة فالناتج سالب.

-١٦÷(-٢)=٨ متشابهين بالإشارة فالناتج موجب.

قاعدة الإشارات في الرياضيات

الجمع (+) :

مــوجب + مــوجب = موجب ~> ونتمم الجمع (+6) + (+2) = (+8)

ســـالب + ســـالب = ســالب ~> ونتمم الجمع (-6) + (-2) = ( - 8)

ســـالب + مــوجب = نأخذ إشارة الكبير ونطرح (-6) + (+2) = (-4) 

(+6) + (-2) = (+4)


أمثلة على الجمع

(+4) +(+5) = +9

(-4) +(-5) = -9

+4) +(-5) = -1

(-4) +(+5) = +1

(+) + (+) = +

(-) + (-) = -

(+) + (-) =

(-) + (+) = إذا اتفق العددان في الإشارة فإننا نجمع العددين ونضع اشارتهم.

إذا كان العددين مختلفين في الاشارة نأخذ الفرق بين العددين ونضع اشارة العدد الذي قيمته المطلقة أكبر.

--------------------------

الطرح (-) :

مــوجب - مــوجب = موجب ~> ونتمم الطرح (+6) - (+2) = (+4)

ســـالب - ســـالب = ســالب ~> ونتمم الطرح (-6) - (-2) = (-4)

ســـالب - مــوجب = نأخذ إشارة الكبير ونطرح (-6) - (+2) = (-4) &

(+6) - (-2) =(+4)


أمثلة على الطرح

(+6) - ( +8 ) =

(+6) - ( -8 ) =

(-6) - ( +8 ) =

(-6) - ( -8 ) =

(+6) + ( -8 ) = -2

(+6) + ( +8 ) = +14

(-6) + ( -8 ) = -14

(-6) + ( +8 ) = +2

نحول عملية الطرح إلى عملية جمع المعكوس.

ثم نكمل عملية الجمع باستخدام قاعدة اشارات الجمع السابقة .

__________

الضرب (x) :

مــوجب x مــــوجب = موجب ~> ونتمم الضرب (+6) x (+2) = (+12)

ســـالب x ســـــالب = موجب ~> ونتمم الضرب (-6) x (-2) = (+12)

ســـالب x مـــوجب = ســالب ~> ونتمم الضرب (-6) x (+2) = (-12) 

(+6) x (-2) =(-12)


أمثلة على الضرب

(+3) × (+7) = +21

(-3) × (-7) = +21

(+3) × (-7) = -21

(-3) × (+7) = -21

 (+) × (+) = +

(-) × (-) = +

(+) × (-) = -

(-) × (+) = -

اذا اتفق العددان في الإشارة فإننا نضرب العددين ونضع الإشارة الموجبة.

اذا كان العددين مختلفين في الاشارة فإننا نضرب العددين ونضع الإشارة السالبة .

--------------------------

القسمة (÷) :

مــوجب ÷ مــوجب = موجب ~> ونتمم القسمة (+6) ÷ (+2) = (+3)

ســـالب ÷ ســـالب = موجب ~> ونتمم القسمة (-6) ÷ (-2) = (+3)

ســـالب ÷ مــوجب = ســالب ~> ونتمم القسمة (-6) ÷ (+2) = (-3) &

(+6) ÷ (-2) =(-3)

أمثلة على القسمة

(+24) ÷ (+6) = +4

(-24) ÷ (-6) = +4

(+24) ÷ (-6) = -4

(-24) ÷ (+6) = -4

(+) ÷ (+) = +

(-) ÷ (-) = +

(+) ÷ (-) = -

(-) ÷ (+) = -

قاعدة الاشارات من اهم القواعد بمادة الرياضيات

غلط واحد بس يمكن يضيع عليكم مسأله كامله

 قاعدة الاشارات في الجمع والطرح

* (+ )+ (+) = +

مثال : 1 + 2 = 3

* (+) + ( _ ) = في اختلاف الاشارات نضع إشارة العدد الأكبر و (نطرح)

مثال :

5 - 3 = 2 >> هنا الأكبر الخمسة لذلك اشارة الناتج بالموجب

وفي الحالة الثانية

3 - 5 = -2 >> وايضاً هنا الاكبر الخمسة ولكنها جاءت سالبه فنضع اشارتها ونطرح عادي

* (-) + (-) = سالب ( - )

في تشابه الاشارات السالبة والعملية بينهم جمع (نجمع العددين) واشارة الناتج بالسالب (-)

مثال:

(-6) + ( -3 )=

-6 - 3 = -9

هنا أكيد استغربتوا يوم شفتو بين 6 و 3 سالب

وذلك لتطبيق عمليه الضرب بالأقواس وراح تفهموها أكثر بشرح اشارات الضرب بعد شوي

وأما شرح هذه المسألة فهو كما يلي :

(-6 ) {+ ( -3 ) }

= -6 تنزل عادي والشغل كله في القوس اللي بعده ، لازم تكون بينهم إشارة وحد مو ثنتين ونتيجة لتخالف الاشارات نطبق قاعدة الضرب ما بي القوسين الكبار في المثال

فـ (+) ضرب (-) = سالب

فتبقى إشارة -3 ( سالبه) وتتحول العملية من الجمع للطرح

-6 -3 >> ونظراً لتشابه الاشارات ننزل الاشارة الموجودة ونجمع

والناتج = -9

ثانيا : في الضرب :

* (+) X (+) = نضرب عادي والناتج +

مثال : 6 4x

= 24

* (+) X ( _ ) أو العكس ( _ ) X (+) = سالب ( - )

(ضرب) عددين مختلفين في الإشارة أولاً:

1) في الناتج نضع إشارة السالب (-) >> للمعلومية قاعده ثابته

2) نضرب عادي

مثال :

-5 3x

= - 15

* ( - )X ( - ) = +

( وضرب) عددين متشابهين في الإشارة السالبة تكون اشارة ناتجهما بالموجب ( + )

مثال

* (-4) x 36 = (9-) x

مثاله فـ حالة الضرب فقط . و ليس فـ حال الجمع و الطرح

(-2)*(-4)=+8

(-2)*(+4)=-8

(+2)*(+4)=+8

فـ حالة الضرب 1ذ1 اختلفت الاشارات يكون الجواب سال (-)

1ذ1 تشابهت الاشارات يكون الجواب موجب(+)

وفي حالة الجمع والطرح تكتب اشارة الأكبر وتطرح عادي

-7 + 10 = +3

+9 - 12 = -3

لماذا ناتج ضرب عدد سالب بعدد سالب آخر هو عدد موجب ؟

( - )X ( - ) = +

     هل خطر هذا السؤال على بالك من قبل؟ ربما في الإعدادية أو عند تعلم الأساسيات الرياضية وربما لم يخطر باعتباره مسلمة لا تحتاج السؤال! في المقال التالي ستجد إجابةً على هذا السؤال، لذا عندما يسألك طفل في المرحلة السابعة عن ذلك سيحصل على إجابة مقنعة وقد يحفزه ذلك للدراسة وطرح أسئلة أكثر مما يجعل الرياضيات تبدو بالنسبة له ممتعة كما هي عليه في واقع الحال.

الإجابة هنا لها علاقة بمعرفة العمليات الرياضية الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة، بالإضافة إلى إدراك أنّ كل رقم له رقم معاكس يكون ناتج جمعهما صفر، على سبيل المثال؛ الرقم (3) معاكسه هو (3-) و مجموعهما يساوي الصفر أي (-3) + (3)=0.

لاحظ أنّه عند أخذ معاكس المعاكس أننا سنعود للرقم الأصلي،
 ففي مثالنا السابق إذا أخذنا معاكس الـ(3-) أي – (3-) سنعود للرقم الأصلي وهو (3)، 
وبالعكس أيضًا معاكس (3)- هو (3-).

والآن إذا غيرت من إشارات عوامل أي عملية ضرب فإنك بذلك ستغير إشارة ناتج هذه العملية، 
أي أنّ (- عدد ما) × (عدد آخر) هو معاكس }(العدد) × (العدد الآخر){، هذا صحيح لأنه عند جمعهم مع بعضهم -أي العمليتين السابقتين- ستحصل على صفر وذلك باستخدام خاصية توزيع الضرب على الجمع، 
على سبيل المثال؛ (- 3) × (4-) + (3) × (-4)= (-3+3) × (-4)= (0) × (-4)=0 إذًا (- 3) × (-4) هو معاكس (3) × (4-) والذي هو بالتالي وباستخدام نفس الأسباب معاكس (3) × (4)
 وبذلك فإنّ ناتج (- 3) × (-4) هو معاكس معاكس 12 أي معاكس (-12) أي أننا نعود للعدد (12).

    وبهذا نجد أنّ حقيقة ناتج ضرب عددين سالبين هو عدد موجب مرتبط بحقيقة أنّ معاكس معاكس عدد موجب هو العدد الموجب نفسه،
   بالطبع هذه أحد طرق تفسير هذا السؤال البسيط والذي قد يفسر بطرق توضيح مختلفة أخرى، ومن المهم معرفة أنّ مستويات أعلى من هذا السؤال تدرس في الجامعات في صفوف غرضها تغطية خواص العمليات الرياضية بشكل عام.

لماذا ضرب رقم سالب في رقم سالب يعطي رقم موجب؟!

( - )X ( - ) = +

       اقترح العديد من الرياضيتين طرق لتصور ماذا يحدث عندما نضرب رقم سالب في رقم سالب آخر، 

لتبسيط الفكرة ومعرفة لماذا يحدث هذا رياضيًا. بالطبع تصوير الأمر ليس سهلًا 

لكننا سنحاول تبسيط الفكرة في هذا المقال.

الدين

أفضل طرق لتمثيل عملية السالب (الطرح) هو الدين. فلنفترض أنك مديون للبنك، وعليك دفع كل شهر 100 دولار لمدة ستة أشهر. فبعد الستة أشهر كم سيصبح ما معك من مال؟ بالطبع ستضرب عدد الأشهر فيما سيتم طرحه منك كل شهر (-100).

-100* 6 = -600

سالب 600، أي سينقص مالك ما قيمته 600 دولار.

لكن لنفترض أن (لم) تدفع لثلاثة أشهر بسبب هدية من البنك. أي ستصبح الأشهر سالبة (لم) تقم فيها بالعملية. فتصبح العملية

-100 * -3

لن نضع الناتج، فكر انت به، لم يتم خصم منك 100 دولار في 3 أشهر فهل سيكون هناك فائض؟ نعم بالطبع، لذا فالقيمة ستكون موجبة.

-100 * -3 = 300

الإثبات الرياضي  لـــ ( - )X ( - ) = +

فلنحاول حساب ( -2 * -3) رياضيًا

  -2 * -3 = (-1)(2)(-1)(3)

            = (-1)(-1)(2)(3)

            = (-1)(-1) * 6

السؤال هنا، ما قيمة -1*-1؟ إما ان تكون -1 أو +1، ولو قلنا انها +1 

وهي الإجابة الصحيحة فسيكون الناتج 6.

لكن ماذا لو افترضنا أنه (-1*-1) = -1، ماذا سيحدث؟

احسب هذه العملية (-1)(1 + -1) بافتراض أن ضرب عددين سالبين يعطي عدد سالب.

(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)

        (-1)(0) = -1 + -1

              0 = -2

وبالطبع هذا امر خاطئ على الإطلاق فالصفر لا يساوي سالب 2. 

أما إذا حسبتها بأن عدد سالب ضرب عدد سالب يعطي عدد موجب فسيكون الناتج

(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)

        (-1)(0) = -1 + 1

              0 = 0

طرح الأعداد الصحيحة

    الهدف العام :  التعرف على عملية طرح الاعداد الصحيحة و بعض خواصها

    بعض استخدامات البرنامج : 

1. طرح عددين صحيحين موجبين
2. طرح عددين صحيحين سالبين
3. طرح عددين صحيحين مختلفين بالإشارة
4. التعرف على النظير الجمعي
5. التحقق من أن طرح الاعداد الصحيحة ليس إبدالي.

المادة العــلمية :

تحويل عملية الطرح كعملية جمع لعددين صحيحين، باستخدام خاصية جمع النظير الجمعي للعدد

   شرح البرنامج وطريقة العمل : 

 أولا : وصف شامل لواجهة البرنامج :

اللوحة ( 1 )

 ثانيا لأجزاء البرنامج :

1. النقطة الزرقاء   تتحرك يمينا ويسارا لتمثيل العدد الأول   سواء كان ( موجبا او سالبا )
2.  النقطة الحمراء    تتحرك يمينا و يسار لتمثيل   العدد الثاني سواء كان ( موجبا أو سالبا )
3.  الجزء التالي هو تمثيل عملية جمع الاعداد الصحيحة جبريا  :  

4. الشكل التالي  تمثيل عملية الجمع بيانيا:  

 ثالثا : إجراء عملية الجمع للأعداد الصحيحة :

مثال (1) :    أوجد ( +5 ) - (+ 3 ) :  

نقوم بعمل التالي :  نحرك النقطة الزرقاء نحو اليمين حتى نصل إلى العدد ( +5 )  ثم نحرك النقطة الحمراء يمينا حتى نصل إلى العدد

( +3 ) كما في الشكل التالي :

اللوحة ( 2 )

ومن خلال الشكل يتضح ان ناتج عملية الطرح هو ( +2 ) كما يتضح ان العدد الاول مثل بسهم ازرق بدأ من النقطة ( 0) الى النقطة ( +5) ثم  مثل العدد الثاني بسهم احمر من عند النقطة التي انتهى عندها العدد الاول   (+5) ،وكان من المفترض أن يتجه نحو اليمين بمقدار ثلاث وحدات تمثل ( +3) ، لكن نلاحظ ان السهم قد عكس اتجاهه وسار نحو اليسار بمقدار ثلاث وحدات تمثل (-3 ) وهذا ما يعرف بالنظير الجمعي لنصل الى العدد ( +2) ، ومن هذا يتوصل الطالب الى ان النظير الجمعي للعدد ( +3) هو العدد ( -3 ) 

• عند طرح عددين سالبين نستخدم نفس الطريقة الا ان السهم الممثل للعدد الاول يتجه نحو اليسار والسهم الممثل  للعدد الثاني يتجه نحو اليمين الشكل التالي :

مثال (2) :    أوجد ( -5 ) - (- 3 ) :  

اللوحة ( 3 )

 

•  عند طرح عددين احدهما سالب والاخر موجب نمثل العددين بنفس الطريقة  الا ان السهمين يتجهان في نفس الاتجاه اما ييمينا او يسارا كما في الشكل :

مثال (3) :    أوجد ( +3 ) - (- 2 ) :  

اللوحة ( 4 )

نلاحظ ان السهم الاحمر الممثل للعدد الثاني بدا من نهاية السهم الازرق الممثل للعدد الاول واتجه نحو اليمين ليصل الى النقطة ( +5 ) .

ويتضح انه من خلال هذه البرمجية يمكن للمعلم ان يتوصل مع تلاميذه الى قواعد طرح الاعداد الصحيحة من خلال التعلم بالممارسة دون استخدام عملية التلقين في ذلك ، كما توفر هذه البرمجية امكانية استنتاج ان عملية الطرح ليست ابدالية على مجموعة الاعداد الصحيحة  ، كما تمكن هذه البرمجية  الطالب من ايجاد عملية الطرح من خلال الثمثيل على خط الاعداد  ، كما تعرف الطالب على النظير الجمعي .

انطلاقا من الوضعية أسفله ( لعبة انطلاق – وصول) سنحدد مجموع عددين صحيحين نسبيين وسنتعرف على القواعد التي تنظم جمع الأعداد الصحيحة النسبية، ثم في مرحلة لاحقة سنتعرف على فرق عددين صحيحين نسبيين.

      لكي يختبر قدرة هند على الحساب، يستعمل إسماعيل أدراج سلم صعودا ونزولا من خلال وضعية انطلاق ثم وصول كما هو مبين في الصور التالية:

وضعية  الإنطلاق

 مجموع العددين (2-) و (5+) هو العدد (3+)

 مجموع العددين (2+) و (5-) هو العدد (3-)

 مجموع العددين (2-) و (5-) هو العدد (7-)

                                             مجموع العددين (2+) و (5+) هو العدد (7+)

• مصطلحات : الجمع 

العددان (2+) و (5-) يسميا حدي المجموع.
العدد (3-) يسمى مجموع العددين (2+) و (5-)
العددان (2-) و (5-) لهما نفس الإشارة
العددان (2+) و (5-) مختلفا الإشارة
مسافة عدد عن الصفر هي المسافة الفاصلة بين أفصول النقطة 0 وأفصول هذا العدد.

ملاحظة :  مسافة عدد عن الصفر تكون دائما موجبة.

• قواعد : مجموع عددين صحيحين نسبيين

قاعدة 1 : مجموع عددين صحيحين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد صحيح نسبي :
إشارته هي إشارة هذين العددين.
مسافته عن الصفر هي مجموع مسافتي هذين العددين عن الصفر.

 مثال:    17+ = (9+) + (8+)      ;;      17- = (9-) + ( 8-)

قاعدة 2 : مجموع عددين صحيحين نسبيين مختلفي الإشارة هو عدد صحيح نسبي :
إشارته هي إشارة العدد الذي له أكبر مسافة عن الصفر.
مسافته عن الصفر هي فرق مسافتي هذين العددين عن الصفر.

 مثال:    1- = (9-) + (8+)      ;;      1+ = (9+) + ( 8-)

قاعدة 3 :مجموع عددين صحيحين نسبيين متقابلين يكون دائما منعدما .a عدد عشري نسبي . و لدينا : 

a + ( - a ) = 0 و a - a = 0

مثال:    0 = 13 - 13      ;;      0 = (10+) + ( 10-)

قاعدة 4 : لحساب فرق عددين صحيحين نسبيين نضيف إلى الحد الأول مقابل الحد الثاني .a و b عددان نسبيان : 

(a – b = a + (- b

 مثال:     17+ =  (9+) + (8+)  = (9-) - (8+)
             12- = (16-) + 4 = 16 - 4 

كيفية حساب مجموع وفرق عددين صحيحين نسبيين 

    ويستعرض القواعد التي تنظم حساب الأعداد السالبة والموجبة.

العدد الصحيح النسبي يمكن أن يكون موجبا أو سالبا:

الأعداد الموجبة هي:

1،0، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، ... وهي في حقيقة الأمر تكتب على الشكل التالي:

... (4+) = 4 ; (3+) = 3 ; (2+) = 2 ; (1+) = 1

الأعداد السالبة هي:

0، 1-، 2-، 3-، 4-، 5-، 6-، 7-، 8-، ...  ونكتبها أيضا على شكل:

... (4-) = 4- ; (3-) = 3- ; (2-) = 2- ; (1-) = 1-

أنظر إلى الصورة كيف نرتب هذه الأعداد على المستقيم المدرج:

ملاحظتين:

1. نستعمل الأقواس في الأعداد الموجبة والسالبة لتمييز الأعداد عن بعضها.

2.الصفر هو عدد موجب وسالب في نفس الوقت.

كيف نحسب مجموع عددين صحيحين نسبيين؟

سنستعين بتقنيتين (أو طريقتين) لفهم الأمر:

طريقة 1 : باستعمال أقراص من لونين مختلفين ( البرتقالي و الأخضر على الصور ) يتوسط أحدهما إشارة ''+'' و الأخر إشارة ''-'' نرمي بي هذه الأقراص حسب الطلب في علبة ، ثم نزيل في كل مرة قرصين من لونين مختلفين ( لا يمكن إزالة قرصين من نفس اللون).  المجموع سيكو ن بعدد و بلون الأقراص المتبقية في العلبة، مثلا إذا كان عدد الأقراص المتبقية هو '' ثلاثة أقرص برتقالية'' فالمجموع سيكون هو 3+ أما إذا كان '' خمسة أقرص خضراء'' فالمجموع هو 5-... لنرى ماذا سيحدث:

أ – مجموع عددين صحيحين نسبيين لهما نفس الإشارة

لنفرض أننا رمينا ب 8 أقراص برتقالية و 6 أخرى أيضا برتقالية:

في هذه الحالة لا يمكننا إزالة أي قرص بحكم أن جميعها من نفس اللون وبالتالي المجموع هو 14.

نكتب :  14 = 6 + 8 أو 14+ = (6+) + (8+)

 8 أقراص خضراء و 6 خضراء:

في هذه الحالة أيضا لا يمكننا إزالة أي قرص بحكم أن جميعها من نفس اللون وبالتالي المجموع هو 14-.

نكتب:   14- = (6-) + (8-)

ب – مجموع عددين صحيحين نسبيين مختلفي الإشارة

 8 أقراص برتقالية و 6 خضراء:

الأقراص المتبقية : ''قرصين برتقاليين'' و بالتالي المجموع هو 2+

نكتب :  2 = 6 + (8-) أو 2+ = (6-) + (8+)

 8 أقراص خضراء و 6 برتقالية:

الأقراص المتبقية : ''قرصين برتقاليين'' و بالتالي المجموع هو 2+

نكتب :  2 = 6 + (8-) أو 2+ = (6-) + (8+)

الأقراص المتبقية : "قرصين خضراوين" و بالتالي المجموع هو 2-

نكتب :  2- = 6 + (8-) أو 2+ = (6+) + (8-) .

طريقة المستقيم المدرج :

9 = 3 + 6

9 - =  (3-) + (6-) 

 3 =  (3-) + 6 

3- = 3 + (6-)

ملاحظة : لطرح عدد صحيح نسبي من أخر نضيف إلى العدد الثاني مقابل العدد الأول.

لكن ...كيف ذلك؟

لفهم هذا الأمر، اقترح الوالدان على بنتهما الوحيدة إيمان ما يلي:

" إذا كانت إيمان لطيفة و مطيعة تحصل على 3 نقط (3+)، أما إذا كانت شقية وغير مطيعة تخصم لها 3 نقط (3-) . إذا حصلت على مجموع 30 من النقط تحصل على مكافأة من أبويها"

بدأت إيما ن يومها بشكل جيد وحصلت في الصباح على 9 نقط منحتها إياها الأم. في المساء و بحضور الأب أثناء تناول وجبة العشاء رأت الأم أن إيمان سكبت قليل من الحليب على المائدة و قامت بخصم ثلاثة نقط من التسعة (أضافت إلى المجموع (3-) ) التي منحتها في الصباح وقامت بالحساب التالي:

6 = 3 - 9 = (3-) + 9

اعترض الأب بقوة على الأمر وفسر ما قامت به إيمان على أنه تصرف عادي وطلب من الأم خصم (3-) التي أضافتها إلى المجموع.

راجعت الأم الحساب وقامت بكتابة ما يلي:

9 = 3 + 6 = (3-) - 6

وفازت إيمان في اليوم الأول ب 9 نقط

خلاصة: لطرح (3-) من 6 ، نضيف إلى 6 مقابل (3-). و بالتالي الكتابتين (3-) - 6 و  3 + 6 لهما نفس المعنى، أي أن :

9 = 3 + 6 = (3-) - 6.

وماذا عن هاتين الكتابتين؟

? (3-) +6

? (3+) - 6

في الحقيقة : (3+) - 6  =  (3-) +6

أمثلة :

 طريقة ثالثة بالإضافة إلى القواعد التي تنظم حساب مجموع وفرق عددين صحيحين نسبيين على صفحة : جمع وطرح الأعداد الصحيحة النسبية.

الأعداد السالبة

الأعداد الأقل من الصفر: الأعداد السالبة. وسنبدأ باستعراض كيفية عمل الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية.

الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية

عندما نريد وصف عدد أو كمية شيء ما، على سبيل المثال يوجد 24 طالبا في الفصل أو كتاب ما يحتوي على 45 صفحة، في هذه الحالة نستخدم عادة الأعداد الطبيعية. الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة لها قيم موجبة وتبدأ من الصفر.

الأعداد الطبيعية: ...,3,2,1,0...,3,2,1,0

يمكننا توضيح الأعداد الطبيعية على خط الأعداد:

أيضا استخدمنا الأعداد العشرية وهي أعداد صحيحة تحتوي على كسور عشرية، تتكون من أعشار، أجزاء من مائة، أجزاء من ألف وهكذا. وفيما يلي ثلاثة أمثلة على الأعداد العشرية

1,31,3

5,475,47

0,8614760,861476

لمن يريد تكرار كيفية عمل هذه الأنواع من الأعداد يمكنك قراءة المزيد في قسم الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية.

الأعداد السالبة

الآن سندرس الأعداد السالبة وهي الأعداد الأقل من الصفر. يُكتب العدد السالب بنفس طريقة العدد الموجب ولكن أمامه علامة ناقص (-). هناك أعداد صحيحة سالبة وأعداد عشرية سالبة، لكن في هذا الفصل سندرس أولا الأعداد الصحيحة السالبة.

مثال على استخدام الأعداد السالبة هو الدرجات السالبة على الثيرمومتر العادي (الذي يوضح درجات الحرارة بوحدة الدرجة المئوية أو سيلزيوس). الدرجات السالبة على الثيرمومتر هي أقل من درجة الصفر (°0 سيلزيوس). على سبيل المثال يمكننا باستخدام الثيرمومتر قراءة درجة الحرارة -°8 سيلزيوس وهي أقل من °0 سيلزيوس بــ °8 سيلزيوس.

الأعداد السالبة على خط الأعداد

على خط الأعداد تكون الأعداد السالبة يسار الصفر:

إذا نظرنا إلى خط الأعداد نلاحظ على سبيل المثال أن المسافة من الصفر الى العدد السالب -1 مساوية للمسافة من الصفر الى العدد الموجب 1, المسافة من الصفر الى العدد السالب -2 هي نفس المسافة من الصفر الى العدد الموجب 2 وهكذا.

عند اجراء الجمع والطرح مع الأعداد السالبة هناك بعض الأشياء التي ينبغي أن نأخذها في الاعتبار. عندما نجمع (نضيف) أعداد موجبة سنتحرك يمينا على طول خط الأعداد. عندما نطرح أعداد موجبة سنتحرك يسارا على طول خط الأعداد.

للتعامل مع الأعداد السالبة يمكن أن يساعدنا التفكير في كيفية عملها على الثيرمومتر، عند زيادة أو انخفاض درجة الحرارة.

دعونا ننظر إلى هذا مثال

1=4+3−1=4+3−

يمكن أن نفهم عملية الجمع هذه بالنظر إلى خط الأعداد. نبدأ من العدد السالب -3 ثم نتحرك أربع خطوات تجاه اليمين، لأننا نريد إضافة العدد الموجب (4). في هذه الحالة سننتهي عند العدد الموجب 1.

إذا فكرنا في هذه العملية الحسابية على الثيرمومتر الحراري، يمكن أن نتخيل أن درجة الحرارة كانت -°3 درجة مئوية (C) وارتفعت درجة الحرارة بمقدار 4 درجات، مما يعطينا درجة حرارة جديدة وهي +°1 درجة مئوية (C).

بنفس الطريقة يمكننا معرفة ماذا يحدث عندما نطرح عدد موجب، مثلا

5−=2−3−5−=2−3−

إذا نظرنا إلى خط الأعداد يمكن قراءة هذه العملية الحسابية، بحيث نبدأ من العدد السالب -3 ثم نتحرك خطوتين تجاه اليسار، وذلك لطرح العدد الموجب (2).

 في هذه الحالة سننتهي عند العدد السالب -5.

      إذا فكرنا في هذه العملية الحسابية على الثيرمومتر، يمكننا أن نتخيل أن درجة الحرارة كانت -°3 درجة مئوية (C) وانخفضت درجة الحرارة بمقدار درجتين، مما يعطينا درجة حرارة جديدة وهي -°5 درجة مئوية (C).

إضافة الأعداد السالبة

الآن رأينا ماذا يحدث عندما يكون لدينا عدد سالب ونريد أن نضيف اليه أو نطرح منه عدد موجب. نضيف اليه العدد الموجب بالتحرك يمينا على طول خط الأعداد. 
ونطرح منه العدد الموجب بالتحرك يسارا على طول خط الأعداد.

لكن ماذا سيحدث إذا أضفنا عدد سالب؟ هذا ما سندرسه الآن.

إضافة عددين الى بعضهما تعني حساب قيمة مجموعهما معا.
      بما أن الأعداد السالبة أقل من الصفر، يمكن أن ننظر اليها كخَصم أو دَيْن‏. 
على سبيل المثال
      إذا كان لدينا 100 كرونة في البنك وعلينا ديون بقيمة 50 كرونة، عندئذ لا يكون لدينا سوى 50 كرونة فقط لاستخدامها. هذا ما سيحدث عند إضافة الأعداد السالبة:

50=50−100=(50−)+10050=50−100=(50−)+100

عملية إضافة العدد -50 هي نفس عملية طرح العدد 50.

يمكن فهمها كما يلي:
 إذا كان لدينا 100 كرونة وعلينا دين 50 كرونة، بالتالي لدينا فقط 50 كرونة متبقية. هذا هو نفس الشيء عندما يكون لدينا 100 كرونة واشترينا شيئا ما (طرحنا) بمبلغ 50 كرونة.
   في كلا الحالتين سيتبقى معنا 50 كرونة.

بنفس الطريقة عندما يكون لدينا عددين سالبين. على سبيل المثال إذا جمعنا العددين -100 و -50, سنحصل على:

150−=50−100−=(50−)+100−150−=50−100−=(50−)+100−

هذا يمكن أن يكون على سبيل المثال علينا دَيْن‏ 100 كرونة ثم زاد هذا الدَيْن بمقدار 50 كرونة. بالتالي سيكون اجملي الدَيْن (المطلوب) -150 كرونة.

طرح الأعداد السالبة

أيضا نريد أن نعرف ماذا سيحدث عندما نطرح الأعداد السالبة.

عملية الطرح تعني ما مقدار الاختلاف أو الفرق بين عددين. إذا كان لدينا عدد موجب وطرحنا منه عدد سالب سيكون الفرق أكبر مما إذا طرحنا عدد موجب.

كمثال على ذلك يمكن أن نتصور طائرة على ارتفاع 100 متر فوق سطح البحر وتوجد غواصة بحرية على مسافة 50 متر تحت سطح البحر (عُمق الماء). المسافة الرأسية بين الطائرة والغواصة هي 150 متر، وهذا لأنه لدينا أولا 100 متر من الطائرة إلى سطح الماء زائدا 50 متر أخرى من سطح الماء الى الغواصة في الأسفل. هذه المسافة يمكن أن ننظر اليها كالفرق بين ارتفاع الطائرة فوق سطح الماء وبُعد الغواصة عن سطح الماء في الأسفل (الذي يعتبر سالب لأن الغواصة تحت سطح الماء). هذا باعتبار أن سطح الماء هو الصفر:

150=50+100=(50−)−100150=50+100=(50−)−100

عملية طرح العدد -50 هي نفس عملية أضافة العدد 50.

الضرب والقسمة

عمليتي الضرب والقسمة. بما في ذلك سنقوم بضرب وقسمة الكسور العشرية مع أعداد كبيرة وأعداد صغيرة.

ضرب الأعداد العشرية

عندما نضرب عدد صحيح في عدد عشري، عندئذ‏ يكون من الأفضل إعادة كتابة العدد العشري ثم نواصل اجراء العملية الحسابية خطوة خطوة. هذا ما تدربنا عليه سابقا في قِسم ضرب الأعداد العشرية، وسنكرر الآن كيف يمكن فعل ذلك.

أولا سنقوم بِحَل مثال على عملية ضرب عدد صحيح في عدد عشري.

أحسب

0,23⋅50,23⋅5

احدى الطرق لإجراء هذا الضرب هو إعادة كتابة العدد العشري. العدد 0,23 هو بالطبع عبارة عن 23 جزء من مائة, لذا يمكننا إعادة كتابة العدد العشري كما يلي:

0,01⋅23=0,230,01⋅23=0,23

وهذا  يعني يمكننا كتابة التعبير الأصلي بالطريقة التالية:

0,01⋅23⋅5=0,23⋅50,01⋅23⋅5=0,23⋅5

في الخطوة القادمة يمكننا أولا ضرب 5 فــي 23, ثم لاحقا نضرب حاصل ضربهما فــي 0,01 (ما يعني أننا سنحرك الفاصلة العشرية خطوتين تجاه اليسار).

1,15=0,01⋅115=0,01⋅23⋅51,15=0,01⋅115=0,01⋅23⋅5

بنفس الطريقة يمكننا اجراء عملية ضرب عددين عشريين، وهذا ما سنقوم به في المثال القادم.

 أحسب

4,2⋅0,034,2⋅0,03

سنقوم بإعادة كتابة العاملين 0,03 و 4,2 لتسهيل عملية الضرب.

0,01⋅3=0,030,01⋅3=0,03

0,1⋅42=4,20,1⋅42=4,2

الآن سنعيد كتابة التعبير الأصلي بشكل آخر ونحسب حاصل الضرب خطوة خطوة:

=4,2⋅0,03=4,2⋅0,03

=0,1⋅42⋅0,01⋅3==0,1⋅42⋅0,01⋅3=

=0,001⋅42⋅3==0,001⋅42⋅3=

=0,001⋅126==0,001⋅126=

0,126=0,126=

القسمة مع الأعداد الصغيرة والكبيرة

كما يمكننا تبسيط وتسهيل عمليات الضرب بإعادة كتابة العوامل المضروبة، بنفس طريقة يمكننا أحيانا تسهيل عمليات القسمة بإعادة كتابة البسط، المقام أو الاثنين معا. يمكننا أيضا استخدام الاختصار والمضاعفة لإجراء عملية القسمة خطوة خطوة.

نبدأ بمثال حيث المقام أكبر من البسط.

 أحسب

15300$\frac{15}{300}$

قد يكون من الصعب اجراء هذه القسمة مباشرةً، لكن ستكون أسهل إذا اختصرنا البسط والمقام.

نلاحظ أن البسط والمقام يمكن اختصارهما بالقسمة علــى 3:

0,05=5100=1533003=15300$0,05=\frac{5}{100}=\frac{\frac{15}{3}}{\frac{300}{3}}=\frac{15}{300}$

بعد عملية الاختصار بالقسمة علــى 3 لاحظنا أن عملية القسمة أصبحت أكثر سهولة.

يمكننا أيضا أن نصادف عمليات قسمة حيث المقام فيها عبارة عن عدد عشري صغير كما في المثال القادم.

أحسب

240,04$\frac{24}{0,04}$

أيضا هذه القسمة من الصعب حسابها مباشرةً، لكن إذا ضاعفنا البسط والمقام ستكون أسهل.

بما أن المقام عبارة عن أجزاء من المئة (أربعة من مئة) يمكننا أن نضاعف البسط والمقام بالضرب فــي 100, مما يعطينا ما يلي:

600=24004=100⋅24100⋅0,04=240,04$600=\frac{2400}{4}=\frac{100\cdot 24}{100\cdot 0,04}=\frac{24}{0,04}$

حتى في حالة إعادة كتابة الكسر بمضاعفته بالضرب فــي 100, أصبح من السهل جدا اجراء عملية القسمة.

الإشارات في الاعداد الصحيحة

الجمع

(+4) +(+5) = +9

(-4) +(-5) = -9

(+4) +(-5) = -1

(-4) +(+5) = +1

(+) + (+) = +

(-) + (-) = -

(+) + (-) =

(-) + (+) =

اذا اتفق العددان في الإشارة فإننا نجمع العددين ونضع اشارتهم.

إذا كان العددين مختلفين في الاشارة نأخذ الفرق بين العددين ونضع اشارة العدد الذي قيمته المطلقة أكبر.

الطرح

(+6) - (+8) =

(+6) - (-8) =

(-6) - (+8) =

(-6) - (-8) =

(+6) + (-8) = -2

(+6) + (+8) = +14

(-6) + (-8) = -14

(-6) + (+8) = +2

نحول عملية الطرح إلى عملية جمع المعكوس.

ثم نكمل عملية الجمع باستخدام قاعدة اشارات الجمع السابقة .

الضرب

(+3) × (+7) = +21

(-3) × (-7) = +21

(+3) × (-7) = -21

(-3) × (+7) = -21

(+) × (+) = +

(-) × (-) = +

(+) × (-) = -

(-) × (+) = -

اذا اتفق العددان في الإشارة فإننا نضرب العددين ونضع الإشارة الموجبة .

إذا كان العددين مختلفين في الاشارة فإننا نضرب العددين ونضع الإشارة السالبة .

القسمة

(+24) ÷ (+6) = +4

(-24) ÷ (-6) = +4

(+24) ÷ (-6) = -4

(-24) ÷ (+6) = -4

(+) ÷ (+) = +

(-) ÷ (-) = +

(+) ÷ (-) = -

(-) ÷ (+) = -

اذا اتفق العددان في الإشارة فإننا نقسم العددين ونضع الإشارة الموجبة.

اذا كان العددين مختلفين في الاشارة فإننا نقسم العددين ونضع الإشارة السالبة.

ضرب وقسمة الأعداد السالبة

الضرب مع الأعداد السالبة

يمكننا أن ننظر الى عملية الضرب كعملية جمع متكررة. على سبيل المثال يمكن أن نكتب حاصل الضرب التالي كمجموع حدود:

2⋅3 = 2 + 2 + 2 = 6

أي أن عملية ضرب 3 فـي 2 هي تماما مثل عملية جمع ثلاث حدود قيمة كل منها 2.

بنفس الطريقة يمكن أن نكتب حاصل ضرب عامل موجب مع عامل سالب كمجموع حدود سالبة:

=(2−)⋅3

=(2−)+(2−)+(2−)=

6−=2−2−2−=

إذن حاصل ضرب العدد الموجب 3 والعدد السالب -2 يساوي -6. وهو نفس حاصل ضرب 3 فــي 2 مع اختلاف أن ناتج الضرب عدد سالب (-6 بدلا من 6).

وستكون عملية ضرب عدد موجب فـي عدد سالب دائما بهذه الطريقة. ولا يهم أي من العددين موجب وأيهما سالب، طالما أن أحدهما موجبا والآخر سالبا:

6−=2⋅(3−)=(2−)⋅3

قاعدة الضرب مع الأعداد السالبة تنص على أنه إذا كان لدينا عددين موجبين a و b (على سبيل المثال 3=a و 2=b), توجد العلاقات العامة التالية:

ba−=(b−)⋅a

ba−=b⋅(a−)

كيف ستكون إذا كان كلا العاملين المضروبين في بعضهما سالبين؟

6=2⋅3=(2−)⋅(3−)

عند ضرب عاملين سالبين يكون ناتج الضرب عدد موجب. ونقول أن علامات السالب تلغي بعضها البعض.

تنص قاعدة الحساب على أنه إذا كان لدينا عددين موجبين a و b (على سبيل المثال 3=a و 2=b)، عندها توجد العلاقة العامة التالية لعملية الضرب:

ba=(a−)⋅(b−)=(b−)⋅(a−)

بالتالي إذا ضربنا عددين سالبين في بعضهما البعض سيكون ناتج الضرب عدد موجب. ولا يهم ترتيب هذين العاملين، سيظل ناتج الضرب هو نفسه.

احسب

(2−)⋅4

الحل:

نستخدم القاعدة الحسابية لضرب عامل موجب فـي عامل سالب، حيث لدينا في هذه الحالة 4=a و 2=b:

ba−=(b−)⋅a

8−=(2−)⋅4

احسب

(2−)⋅(1−)⋅(4−)

الحل:

في هذه الحالة نستخدم قاعدة ضرب الأعداد السالبة في بعضها البعض:

ba=(b−)⋅(a−)

أولا نحسب حاصل ضرب العاملين الأولين (-4) و (-1), ثم نضرب ناتج الضرب الذي سنحصل عليه في العامل الثالث (-2).

ومنها سنحصل على ما يلي:

=(2−)⋅(1−)⋅(4−)

=(2−)⋅4=

8−=

القسمة مع الأعداد السالبة

عند القسمة مع الأعداد السالبة تنطبق نفس القواعد الحسابية المستخدمة مع ضرب الأعداد السالبة.

إذا كان لدينا خارج قسمة فيه عدد موجب وعدد آخر سالب، فسيكون ناتج القسمة عدد سالب.

على سبيل المثال ينطبق هذا عندما يكون البسط سالب والمقام موجب:

2−=6−3

ولا يهم أي من البسط والمقام سالب والآخر موجب، طالما أن أحدهما موجبا والآخر سالبا. لهذ سنحصل على نفس ناتج القسمة في المثال أعلاه عندما يكون البسط موجب والمقام سالب، كما يلي:

2−=63−

أما إذا كان لدينا خارج قسمة عددين سالبين أي أن البسط والمقام سالبين، فسيكون ناتج القسمة موجبا.

كما سنرى في المثال التالي:

2=6−3−

يمكننا تلخيص هذا بأنه عند قسمة عددين لهما علامتين مختلفتين سيكون ناتج القسمة سالب. أما عند قسمة عددين لهما نفس العلامة فسيكون ناتج القسمة موجب.

لقسمة عددين a و b, يمكننا كتابة العلاقات التالية:

ab−=a−b$\frac{a}{b}-=\frac{a-}{b}$

ab−=ab−$\frac{a}{b}-=\frac{a}{b-}$

ab=a−b−$\frac{a}{b}=\frac{a-}{b-}$

$\frac{<br>}{}$

ترتيب العمليات الحسابية

     طرق ترتيب العمليات الحسابية في حال وجود العمليات الحسابية في حالة وجود العمليات الحسابية (الجمع والطرح، القسمة والضرب)

 فإنّ أولويات العمليات الحسابية تُقسَم على حسب العمليات الموجودة في المقدار، فإذا كان المقدار يخلو من الأقواس والجذور والأُسس، سيكون الترتيب كالآتي:

القسمة والضرب،

 تُعد عمليتا القسمة والضرب أقوى من الجمع والطرح، وفي حال وجودهما في إحدى المقادير فإن الأولوية لهما أولاً ومن ثم عمليتا الجمع والطرح، ولم ينتهي الأمر هُنا، فما زالت القسمة والضرب في نفس الكفة ويجب تحديد من منها مُتقدم على العملية الأخرى،

 إن الترتيب والأولوية تتم حسب وجودها في المسألة، فإذا كان المقدار مكتوباً باللغة العربية فالأولوية من جهة اليمين،

 أما إذا كان المقدار مكتوباً باللغة الإنجليزية فالأولوية من الجهة اليسار،

 أي أن الأولوية من حق العملية (الضرب، القسمة) التي تُكتب أولاً.

 الجمع والطرح،

تُعد عمليتا الجمع والطرح

 في الترتيب الثاني بعد الضرب والقسمة،

    وفي حال تواجد العمليتان معاً في نفس المسألة، حينها تكون الأولوية حسب موقعهما في المقدار، فإذا كان المقدار مكتوباً باللغة العربية فالأولوية من جهة اليمين،

 أما إذا كان المقدار مكتوباً باللغة الإنجليزية فالأولوية من الجهة اليسار، أي أن الأولوية من حق العملية (الجمع، الطرح) التي تُكتب أولاً.

 مثال 1 جد ناتج المقدار التالي 10+8×5-20 ؟

[١] أولاً: إيجاد حاصل الضرب، لأنه أقوى من الجمع والطرح، وذلك حسب أولويات العمليات الحسابية:5× 8=40، وبالتالي يصبح المقدار: 10+40-20.

 ثانياً: إيجاد ناتج الجمع، لأنه بدا أولاً قبل الطرح، 40 +10=50، وبالتالي يصبح المقدار: 50-20.

 ثالثاً: إيجاد ناتج الطرح، 50-20، إذن ناتج المقدار 10+8×5-20 يساوي30. مثال 2 جد ناتج المقدار التالي 320÷8-2×9؟

[١] أولاً: إيجاد ناتج القسمة،320 ÷8=40، وبالتالي يصبح المقدار: 40-2×9؟ .

 ثانياً: إيجاد حاصل الضرب،9×2=18، وبالتالي يصبح المقدار: 40-18.

 ثالثاً: إيجاد ناتج الطرح،40-18=22، إذن: 320÷8-2×9=22. مثال 3 جد ناتج المقدار التالي:27÷3+8×5-40÷8؟

[١] الحل: أولاً: إيجاد ناتج القسمة،27÷3=9، وبالتالي يصبح المقدار 9+8×5-40÷8.

 ثانياً: إيجاد حاصل الضرب،5×8=40، وبالتالي تصبح المعادلة 9+40-40÷8.

 ثالثاً: إيجاد ناتج القسمة،40÷8=5، وبالتالي تصبح المعادلة 9+40-5.

 رابعاً: إيجاد ناتج الجمع،9+40=49، وبالتالي تصبح المعادلة49-5.

 خامساً: إيجاد آخر عملية وهي الطرح،49-5=44، إذن ناتج المقدار 27÷3+8×5-40÷8=44.

في حالة وجود أقواس إن للأقواس دور كبير في حل المسائل، وتواجدها في المقدار الجبري يعني تقدمها على العمليتين السابقتين فهي تُحل أولاً،

وفي ما يلي توضيح الأولويات:

إيجاد (حساب) ناتج ما داخل الأقواس. القسمة والضرب. الجمع والطرح.

 مثال 1 أوجد ناتج المسألة التالية:

 12÷(3×2)+5؟

اولاً: حساب ما داخل الأقواس: (3×2)=6، ثم يزال القوس لتصبح المعادلة: 12÷6+5.

ثانياً: إيجاد ناتج القسمة، 12÷6=2، وبالتالي تصبح المعادلة، 2+5.

 ثالثاً: إيجاد ناتج الجمع، 2+5=7، إذن ناتج المقدار، 12÷(3×2)+5=7.

 مثال 2 أوجد ناتج المقدار التالي15-(19-1)÷3×2؟

الحل:

 أولاً: حساب ما داخل القوس،(19-1)=18، ثُم يُزال القوس، ويصبح المقدار: 15-18÷3×2.

 ثانياً: إيجاد ناتج القسمة،18÷3=6، ويصبح المقدار 15-6×2.

 ثالثاً: إيجاد حاصل الضرب، 6×2=12، ويصبح المقدار 15-12.

رابعاً: إيجاد ناتج الطرح، 15-12=3، إذن ناتج المقدار،15-(19-1)÷3×2=3.

في حالة وجود الأسس والجذور إن ترتيب العمليات الحسابية يعتمد على ما يحويه المقدار من عمليات حسابية، فإذا احتوى المقدار على الأسس والجذور سيكون ترتيبها في الدرجة الثانية، كالآتي:

أولاً: حساب ما داخل الأقواس. ثانياً: الأُسس والقوة ( الثانية، الثالثة ،.....)، وكذلك الجذور. ثالثاً: القسمة والضرب.

 رابعاً: الجمع والطرح.

مثال 1 جد ناتج المقدار التالي 5×2²؟

أولاً: الأولوية للأسس، 4= ² 2، ليصبح المقدار:5×4.

ثانياً: إيجاد حاصل الضرب،5×4=20،

إذن ناتج المقدار: 5×2²=20.

 مثال 2 جد ناتج المقدار التالي:20×2-(2/1)×9.8 ×2²؟

أولاً: يُحسب ما داخل الأقواس،(2/1)=0.5، ثم يُزال القوس ليصبح المقدار: 20×2-0.5×9.8 ×2² .

 ثانياً: الأُسس، 2²=4، فيصبح المقدار:20×2-0.5×9.8 ×4 .

 ثالثاً: الضرب من اليمين،20×2=40، ليصبح المقدار:40-0.5×9.8 ×4

 رابعاً: إجراء عملية الضرب الثانية وهي:0.5×9.8=4.5، فيصبح المقدار:40- 4.9 ×4 خامساً: إجراء عملية الضرب الثالثة وهي:4×4.9=19.6، ليصبح المقدار40-19.6

سادساً: إيجاد ناتج الطرح،40-19.6=20.4، إذن ناتج المقدار: 20×2-(2/1)×9.8 ×2²=20.4

مثال 3 جد ناتج المقدار التالي: (3+²5×6)+7؟

أولاً: يُحسب ما داخل الأقواس،(3+25×6)=153، ثم يزال القوس ليصبح المقدار:153+7 . ثانياً: عملية الجمع، 153+7=160، إذن ناتج المقدار:(3+²5×6)+7=160

مثال4 جد ناتج المقدار التالي: (3+2²)+49½؟

أولاً: يُحسب ما داخل الأقواس،(3+2²)=7، ثم يزال القوس ليصبح المقدار:7+49½.

ثانياً: الجذر التربيعي، 49½ =7، إذن ناتج المقدار:(3+2²)+49½= 7+7=14